ECUACIONES
Concepto de ecuación | ||||||||||||||||||||||||
Una ecuación es una igualdad en la cual hay términos conocidos y términos desconocidos. El término desconocido se llama incógnita y se representa generalmente por las últimas letras del abecedario: “x”, “y” o “z”, aunque puede utilizarse cualquiera otra letra.
Ejemplos de ecuaciones:
En estos ejemplos puede observarse lo siguiente:
Hay una expresión escrita a la izquierda del signo igual y hay una expresión escrita a la derecha del signo igual. La que está antes del signo igual recibe el nombre de primer miembro, la expresión que está a la derecha del signo igual se llama segundo miembro.
En una ecuación puede haber más de una incógnita, es decir, más de un valor desconocido.
Una incógnita puede tener como exponente al número 1 (x 1 = x ), al número 2 (x 2), al número 3 (x 3), al número 4 (x 4), etc. El exponente indica el grado de la ecuación. (Debe leerse "equis elevado a uno, equis elevado a dos, etc."
¿Cuándo está resuelta una ecuación?
Una ecuación está resuelta cuando se ha encontrado el valor o los valores de la o las incógnitas que hacen verdadera la igualdad. Este valor recibe el nombre de raíz o solución.
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Clasificación de ecuaciones de acuerdo al grado de la incógnita |
Las ecuaciones se clasifican de acuerdo al grado de la incógnita (la variable).
Pero veamos que significa Grado, en álgebra.
El grado de un monomio o el de una expresión algebraica es un valor referido a los exponentes de las variables (referido a los números que indican la potencia de la variable; dicho en simple, al numerito chico arriba de las letras).
Entonces, el grado puede referirse a un monomio o a un polinomio, y para cada uno puede ser absoluto o relativo.
Grado absoluto de un monomio
El grado absoluto o de un monomio es la suma de los exponentes de todas las letras o variables.
El grado de 2x2 y3 z es: 2 + 3 + 1 = 6
Grado absoluto de un polinomio
El grado absoluto de un polinomio está dado por aquel del término con más alto valor absoluto de todos los que componen la expresión o polinomio
El grado absoluto de 6x3y4z2 + x5y2 es: 3 + 4 + 2 = 9 (que es el valor absoluto del término 6x3y4z2) .
Nota:
Cuando una variable (una letra) no posee exponente, se entiende que es 1, que no se escribe pero que se considera para la suma de exponentes de un término.
Así:
El grado de 2x2 y3 z es: 2 + 3 + 1 = 6 (el exponente de z es 1)
Grado relativo
El grado relativo de un monomio se refiere al valor que arroje la suma de los exponentes de variables iguales:
Así, en el término 5x3y2z5
El grado relativo a x es 3
El grado relativo a y es 2
El grado relativo a z es 5
Grado de una ecuación
El grado de una ecuación lo marca el monomio (o término) de mayor grado absoluto.
5x + 3 = 2x +1 Ecuación de primer grado (cada término posee solo una incógnita y su exponente es uno).
5x + 3 = 2x2 + x Ecuación de segundo grado.
5xy + 3 = 2xy + x Ecuación de segundo grado. (El grado del monomio 5xy es 2)
5x3 + 3 = 2x +x2 Ecuación de tercer grado.
5x2y + 3 = 2x + x2y Ecuación de tercer grado (El grado del monomio 5x2y es 3)
5x3 + 3 = 2x4 +1 Ecuación de cuarto grado.
Resumiremos lo anterior en el siguiente cuadro:
ECUACIÓN
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INCÓGNITA
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EXPONENTE
|
GRADO
|
8x + 38 = 29
|
x
|
1
|
1°
|
4y 2 + 12 = 6y
|
y
|
2
|
2°
|
| 4xy +12 = 6xy | xy | 1 + 1 = 2 | 2º |
z 3 - 8z 2 + z = 7
|
z
|
3
|
3°
|
| z2y - 12 + z = 7zy | zy | 2 + 1 = 3 | 3º |
x 4 - 17x 2 + 16 = 0
|
x
|
4
|
4°
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Propiedades de las ecuaciones | |
Resolver una ecuación es calcular el o los valores de la o las incógnitas para que la igualdad sea verdadera.. Para esto se deben tener presente las siguientes propiedades de la igualdad.
Propiedad 1: Cuando se suma o resta un número a ambos lados de la igualdad, la igualdad se mantiene.
Propiedad 2: Cuando se multiplica o divide por un mismo número, distinto de cero, en ambos lados de la igualdad, la igualdad se mantiene.
Propiedad 3: Cuando se eleva a una potencia distinta de cero ambos miembros de la igualdad, la igualdad se mantiene.
Propiedad 4: Cuando se extrae la misma raíz, en ambos lados de la igualdad, la igualdad se mantiene.
Estas Propiedades de Igualdad son las que se aplican en la resolución de las ecuaciones, independientemente del tipo de coeficientes numéricos que tenga, en otras palabras, siempre se resuelven las ecuaciones usando los mismos métodos, lo único diferente es la forma en que se realizan las operaciones matemáticas con los números que pertenecen a distintos conjuntos.
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Tipos de ecuaciones | |
En cualquier ecuación siempre participan letras y números. De acuerdo con esto, tendremos dos tipos de ecuaciones:
Ecuación numérica: es aquella en que participan números y una única letra que representa a la incógnita.
Ej: 2x + 37 = 8x + 19
Ecuación literal: es aquella en la cual participan una o más letras además de la incógnita y los números.
Ej: a (x + b) = a2 + b2 + b (x - a)
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A lo largo de toda la historia, la enseñanza de la Matemática se ha visto acompañada de la resolución de múltiples problemas, lo cual hizo suponer que al ser estos últimos usados racionalmente deben constituirse en herramienta y recurso para el desarrollo del pensamiento, la independencia y las capacidades creadoras. Sin embargo, el uso simplemente de problemas por métodos conductistas, no ha provocado como tal un cambio en la formación de los alumnos, ya que:En general se usan de forma mecánica y rígida
ResponderEliminarNo se da una visión general al proceder matemático restringiéndolo solamente a la manipulación con determinados conceptos y habilidades, siendo estos últimos solo en la propia dirección del problema en sí. Se trabaja más en cuanto a la orientación sobre la base del contenido y no del pensamiento muy bien chicos.